试证明: 设.若对任意的x∈E,存在开球B(x,δx),使得m*(E∩B(x,δx))=0,则m*(E)=0.
试证明:
设.若对任意的x∈E,存在开球B(x,δx),使得m*(E∩B(x,δx))=0,则m*(E)=0.
试证明:
设.若对任意的x∈E,存在开球B(x,δx),使得m*(E∩B(x,δx))=0,则m*(E)=0.
第1题
试证明:
设是不可数集,令
D={x∈E:对任意的δ>0,E∩(x-δ,x+δ)是不可数集},
则
(i)D是不可数集;
(ii)存在x0∈E,使得对任意的δ>0,点集E∩(x0,x0+δ)是不可数集.
第2题
设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数,m(E)<+∞,试证明对任意的ε>0,存在E上的有界可测函数g(x),使得
m({x∈E:|f(x)-g(x)|>0})<ε.
第3题
试证明:
设是不可数集,则存在x0∈E,使得对任意的δ>0,E∩(x0-δ,x0+δ)均为不可数集.
第4题
粒子作一维自由运动,设t=0时初始波函数为
其中φ(k)为任意给定的函数。试证明:在足够长时间以后,波函数取下列极限形式:
并对|ψ(x,t)|2的极限形式作出合理解释.
第5题
设{Ek}是Rn中测度有限的可测集列,且有
,
试证明存在可测集E,使得f(x)=χE(x),a.e.x∈Rn.
第7题
试证明:
设α>2,作R1中点集:
E={x:存在无限个分数p/q,p与q是互素的自然数,
使得|x-p/q|<1/qα},
则m(E)=0.
第8题
试证明:
设.若{fk(x)}在E上依测度收敛于0,{gk(x)}在E上依测度收敛于0,则{fk(x)gk(x)}在E上依测度收敛于0.
第9题
若X是无穷维赋范空间,证明以下结论:
(a)存在单的不连续的线性映射F:X→X
(b)存在X上不连续的线性泛函。
(d)对任意的赋范空间Y≠{0},存在不连续的线性映射F:X→Y
第10题
设f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,f]上可积,若对任何(y,z)∈D=[c,d]×[e,f]定积分F(y,z)=z)dx存在,证明F(y,z)在D上可积,且