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设函数f定义在[-a,a]上,证明:(1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数.(2)G(x)=f(x)-f(-x),x∈[-a,a]为奇函数.(3)f可表示为某个奇函数和某个偶函数之和.
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第1题
设f为定义在[a,]上的增(减)函数.证明:
存在的充要条件是f在[a,
]上有上(下)界.
第3题
设f为定义在[a,+∞)上的递增(减)函数,证明:存在的充要条件是f在[a,+∞)上有上(下)界.
第4题
设f(x)是[0,+∞)上的连续函数且恒有f(x)>0,证明是定义在[0,+∞)上的单调增加函数.
第5题
设f与g是定义在[a,+∞)上的函数,对任何u>a.它们在[a,u]上都可积.证明:若
也都收敛.
第7题
设函数,其中函数g(x)在(-∞,+∞)上连续,且
g(1)=5,,证明
,并计算f''(1)和F'''(1).
第8题
设函数f(x)在区间[0,2]上具有二阶导数,且|f(x)|≤1,|f"(x)|≤1,x∈[0,2].证明:对任意x∈[0,2],|f'(x)|≤2成立.
第9题
设函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)= f(1),证明一定存在x∈(0,)使得f(x0)= f(x0+
).
第10题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,,证明:
(1)存在,使得f(ξ)=ξ;
(2)对于任意实数入λ,必存在η∈(0,ξ),使得
f'(η)-λ[f(η)-η]=1.
第11题
设函数f(z)在区域r0<|z|<∞内解析,C表示圆|z|=r(0<r0<r).我们把积分
定义作为函数f(z)在无穷远点的留数,记作Res(f,∞),在这里积分中的C-表示积分是沿着C按顺时针方向取的。试证明:如果a-1表示f(z)在r0<|z|<+∞的罗朗展式中1/z的系数,那末Res(f,∞)=-a-1